Question

【題目】設函數， ，其中R， …為自然對數的底數．

（Ⅰ）當時， 恒成立，求的取值范圍；

（Ⅱ）求證： (參考數據： )．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析

【解析】【試題分析】（1）先構造函數，再對其求導得到然后分和兩種情形分類討論進行分析求解：

（2）借助（1）的結論，當時， 對恒成立， 再令，得到 即； 又由(Ⅰ)知，當時，則在遞減，在遞增，則，即，又，即，令，即，則，

故有.

解：

(Ⅰ)令，則

①若，則， ， 在遞增， ，

即在 恒成立，滿足，所以；

②若， 在遞增， 且

且時， ，則使，

則在遞減，在遞增，

所以當時，即當時， ，

不滿足題意，舍去；

綜合①，②知的取值范圍為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當時， 對恒成立，

令，則 即；

由(Ⅰ)知，當時，則在遞減，在遞增，

則，即，又，即，

令，即，則，

故有.