Question

已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，面積為S．
（1）求證：a²+b²+c²≥4

3

S；
（2）求證：tan

A

2

tan

B

2

，tan

B

2

tan

C

2

，tan

C

2

tan

A

2

中至少有一個不小于

1

3

．

Answer 1

考點：反證法與放縮法,兩角和與差的正切函數

專題：證明題,反證法

分析：（1）利用分析法進行證明；
（2）用反證法證明數學命題時，應先假設要證的結論的反面成立，即命題的否定．

解答： 證明：（1）要證明a²+b²+c²≥4

3

S，
只需證明a²+b²+a²+b²-2abcosC≥2

3

absinC，
只需證明a²+b²≥2absin（C+

π

6

），
只需證明a²+b²≥2ab，
只需證明（a-b）²≥0，顯然成立，
∴a²+b²+c²≥4

3

S；
（2）假設tan

A

2

tan

B

2

，tan

B

2

tan

C

2

，tan

C

2

tan

A

2

都不小于

1

3

，
則tan

A

2

tan

B

2

+tan

B

2

tan

C

2

+tan

C

2

tan

A

2

＜1①
∵tan

A

2

tan

B

2

+tan

B

2

tan

C

2

+tan

C

2

tan

A

2

=tan

B

2

（tan

A

2

+tan

C

2

）+tan

C

2

tan

A

2

=tan

B

2

tan（

A

2

+

C

2

）[1-tan

C

2

tan

A

2

]+tan

C

2

tan

A

2

=1
這與①矛盾，
∴tan

A

2

tan

B

2

，tan

B

2

tan

C

2

，tan

C

2

tan

A

2

中至少有一個不小于

1

3

．

點評：用反證法證明數學命題的方法和步驟，把要證的結論進行否定，得到要證的結論的反面，是解題的突破口，屬于中檔題．