Question

已知半徑為5的圓的圓心C在x軸上，圓心C的橫坐標是整數，且圓C與直線4x+3y-33=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）設直線ax-y-7=0與圓C相交于A，B兩點，且滿足CA⊥CB，求實數a的值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）利用圓C與直線4x+3y-33=0相切，結合圓心C的橫坐標是整數，求出圓心的坐標，即可求圓C的方程；
（2）圓心C到直線ax-y-7=0為

5

2

2

，結合點到直線的距離公式，即可求實數a的值．

解答： 解：（1）設C（m，0），
∵圓C與直線4x+3y-33=0相切，∴

|4m-33|

5

=5，
∴m=

29

2

或m=2，
∵圓心C的橫坐標是整數，∴m=2，
∴圓C的方程為（x-2）²+y²=25．
（2）∵CA⊥CB且CA=CB=5，∴圓心C到直線ax-y-7=0為

5

2

2

，
∴

|2a-7|

a2+1

=

5

2

2

，化簡得17a²+56a-73=0，
解得a=1或a=-

73

17

．

點評：本題考查直線和圓的方程的應用，考查點到直線的距離公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．