Question

已知函數f（x）=x³+2x²-ax．對于任意實數x恒有f′（x）≥2x²+2x-4
（Ⅰ）求實數a的最大值；
（Ⅱ）當a最大時，函數F（x）=f（x）-x-k有三個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的概念及應用

分析：（1）由f′（x）=3x²+4x-a，對于x∈R恒有f′（x）≥2x²+2x-4，即x²+2x-a+4≥0對于x∈R恒成立得△=4-4（4-a）≤0，解得：a≤3，
（2）a=3時，F（x）=f（x）-x-k有三個零點因此k=x³+2x²-4x，令g（x）=k，則g′（x）=3x²+4x-4，令g′（x）=0，解得：x=-2，x=

2

3

，從而得到單調區間求出函數極值，進而確定k的范圍．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²+4x-a，
對于x∈R恒有f′（x）≥2x²+2x-4，
即x²+2x-a+4≥0對于x∈R恒成立
∴△=4-4（4-a）≤0，
解得：a≤3，
∴a_max=3；
（2）∵a=3時，F（x）=f（x）-x-k有三個零點
∴k=x³+2x²-4x，
令g（x）=k，
則g′（x）=3x²+4x-4，
令g′（x）=0，解得：x=-2，x=

2

3

，
x，g（x），g（x）情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	單調遞增	極大值8	單調遞減	極小極- 40 27	單調遞增

（10分）
由上表知，當x=-2時g（x）取得極大值g（-2）=-8，當x=

2

3

時g（x）取得極小值g（

2

3

）=-

40

27

數形結合可知，實數k的取值范圍為（-

40

27

，8）．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，求函數的極值問題，是一道基礎題．