Question

【題目】已知橢圓E：的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，點A在橢圓E上，∠F1AF2＝60°，△F1AF2的面積為4.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過原點O的兩條互相垂直的射線與橢圓E分別交于P，Q兩點，證明：點O到直線PQ的距離為定值，并求出這個定值.

Answer 1

【答案】(1)1；(2)證明見解析，.

【解析】

（1）由面積可得，再結合余弦定理可得與的關系式，由離心率再得一個關系式，可求得，得橢圓方程；

（2）射線的斜率不存在時，是橢圓頂點，求出方程后可得原點到它的距離，當斜率存在且不為零時，設直線PQ為：y=kx+m，P(x，y)，Q(x1，y1)，直線方程與橢圓方程聯立消元后應用韋達定理得，并計算，再代入可得的關系，當然要注意，然后由這個關系可求得原點到直線的距離．

(1)由題意得 sin60°=4，∴=16，

再由余弦定理：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=（|PF1|+|PF2|）2﹣3|PF1||PF2|，

即：4c2=4a2﹣316，∴c2=a2﹣12，又離心率e，b2=a2﹣c2，∴a2=48，b2=12，

所以橢圓E的方程：1；

(2)證明：當射線的斜率不存在時，由橢圓的對稱性得，設P，Q分別是上頂點，右頂點，

則直線OQ為：，即x+2y﹣4，這時原點到直線PQ的距離d；

當斜率存在且不為零時，設直線PQ為：y=kx+m，P(x，y)，Q(x1，y1)，

與橢圓聯立得：(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣48=0，△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣48)>0，

即m2<48k2+12，x+x1=，xx1，yy1=k2xx1+km(x+x1)+m2，

由題意OP⊥OQ，∴0，∴xx1+yy1=0，∴5m2=48+48k2，

O到直線PQ的距離d，

綜上所述，可證明點O到直線PQ的距離為定值 .