Question

【題目】如圖所示，在三棱錐中，與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，、、、分別是棱、、、的中點(diǎn).

（1）證明：四邊形為矩形；

（2）若平面平面，求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）運(yùn)用中位線定理，證得四邊形為平行四邊形，再取BD的中點(diǎn)O，連接，，運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和線面垂直的判定定理，即可得證；

（2）由題意可得平面. 點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.證明平面，求OM的長(zhǎng)即可.

解：（1）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，

∵、、、分別是棱、、、的中點(diǎn).

∴，，且，

故，且，

∴四邊形為平行四邊形.

∵與都是等邊三角形，

∴，，

又，∴平面，故，

又由上知，，∴，

∴四邊形為矩形.

（2）如圖，設(shè)交于，交于，連接，過作于.

∵，平面，平面，

∴平面.

∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，

∵在（1）的證明中有平面，平面，

∴，故由可得.

又∵，，

∴平面，

∴到平面的距離為.

∵平面平面，平面平面，，平面，

∴平面，

∴，于是.

又∵與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

∴，故，

∴在中，，

∴點(diǎn)到平面的距離為.