Question

【題目】如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱垂直于底面，且底面是邊長為2的正三角形，AA1＝3，點D，E，F，G分別是所在棱的中點．

（Ⅰ）證明：平面BEF∥平面DA1C1；

（Ⅱ）求三棱柱ABC﹣A1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分的體積．

附：臺體的體積，其中S和S′分別是上、下底面面積，h是臺體的高．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）分別證明EF∥平面DA1C1和BE∥平面DA1C1，即可得證；

（Ⅱ）可看作三棱臺DBG﹣A1B1C1減掉三棱錐B﹣B1EF剩余部分，分別計算，求差即可.

證明：（Ⅰ）∵E，F分別是A1 B1和B1C1的中點，∴EF∥A1C1，

∵EF平面DA1C1，A1C1平面DA1C1，

∴EF∥平面DA1C1，

∵D，E分別是AB和A1B1的中點，∴，

∴四邊形BDA1E是平行四邊形，∴BE∥A1D，

∵BE 平面DA1C1，A1D 平面DA1C1，

∴BE∥平面DA1C1，

∵BE∩EF＝E，∴平面BEF∥平面DA1C1．

（Ⅱ）由圖可知，三棱柱ABC﹣A1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分，

可看作三棱臺DBG﹣A1B1C1減掉三棱錐B﹣B1EF剩余部分，

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分的體積．

，

∴三棱臺DBG﹣A1B1C1的體積為：，

三棱錐B﹣B1EF體積，

∴三棱柱ABC﹣A1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分的體積:．