Question

【題目】如圖①，在等腰梯形中，分別為的中點 為中點,現將四邊形沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的多面體，在圖②中.

（1）證明：；

（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由已知可得EF⊥AB，EF⊥CD，折疊后，EF⊥DF，EF⊥CF，利用線面垂直的判定得EF⊥平面DCF，從而得到EF⊥MC；（Ⅱ）由已知可得，AE＝BE＝1，DF＝CF＝2，又DM＝1，得到MF＝1＝AE，然后證明AM⊥DF，進一步得到BE⊥平面AEFD，再由等積法求三棱錐M﹣ABD的體積．

（Ⅰ）由題意，可知在等腰梯形中，，

∵，分別為，的中點，

∴，.

∴折疊后，，.

∵，∴平面.

又平面，∴.

（Ⅱ）易知，.

∵，∴.

又，∴四邊形為平行四邊形.

∴，故.

∵平面平面，平面平面，且，

∴平面.

∴

.

即三棱錐的體積為.