Question

【題目】如圖，拋物線的焦點為，是拋物線的準線與軸的交點，直線經過焦點且與拋物線相交于、兩點，直線、分別交軸于、兩點，記、的面積分別為、.

（1）求證：；

（2）若恒成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由題意可知，直線的斜率不為，可設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，利用三角形的面積公式與弦長公式可證得結論成立；

（2）求得直線的方程，可求得點的坐標，同理可得出點的坐標，可求得的最小值，進而可求得實數的最大值.

（1）由已知可得、，

若直線的斜率為，則該直線與拋物線不可能有兩個交點，不合乎題意，

所以，直線的斜率不可能為，故可設，

聯立，

設、，則，，

所以，

而，

故；

（2）直線，可得，同理，

所以

，

所以，所以的最大值為.