Question

【題目】已知函數，為的導數．

（1）求的最值；

（2）若對恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）最小值為，無最大值（2）

【解析】

（1）本題首先可求出以及，然后繪出函數、以及的圖像，結合圖像即可得出結果；

（2）本題首先可判斷出函數是增函數和奇函數，然后根據增函數和奇函數的性質將轉化為，最后令，通過求解函數的最值即可得出結果.

（1）因為函數，

所以，，

如圖，分別繪出函數、以及的圖像，

結合函數圖像，易知：

當時，，，函數是增函數，

當時，，，函數是減函數，

當時，，此時函數取最小值，，

故有最小值，最小值為，無最大值，

（2）因為，

所以函數是奇函數，

因為由（1）可知，，

所以函數是增函數，

故，即，，

化簡得，

因為對恒成立，

所以恒成立，

令，則，

當時，，函數是減函數，

當時，，函數是增函數，

當時，，函數取最大值，，

因為恒成立，所以的取值范圍為.