Question

【題目】

已知函數（），記的導函數為．

（1）證明：當時，在上單調遞增；

（2）若在處取得極小值，求的取值范圍；

（3）設函數的定義域為，區間，若在上是單調函數，

則稱在上廣義單調．試證明函數在上廣義單調．

Answer 1

【答案】(1) 詳見解析;(2) ;(3) 詳見解析．

【解析】（1）試題分析：（1）當時，，

所以，即， 所以，

所以在上單調遞增（2）因為，所以．① 當時，，所以函數在上單調遞增．

若，則；若，則，

所以的單調增區間是，單調減區間是，

所以在處取得極小值，符合題意． ② 當時，，所以函數在上單調遞減．若，則；若，則，所以的單調減區間是，單調增區間是，所以在處取得極大值，不符合題意． ③ 當時，，使得，即，但當時，，即，所以函數在上單調遞減，所以，即函數在單調遞減，不符合題意．（3）記（），

① 若，注意到，則，即． 當時，．所以，函數在上單調遞增．

② 若，當x>1時，<0．

所以，函數在上單調遞減，

試題解析：

（1）當時，，

所以，即， 所以，

所以在上單調遞增．

（2）因為，所以．

① 當時，，所以函數在上單調遞增．

若，則；若，則，

所以的單調增區間是，單調減區間是，

所以在處取得極小值，符合題意．

② 當時，，所以函數在上單調遞減．

若，則；若，則，

所以的單調減區間是，單調增區間是，

所以在處取得極大值，不符合題意．

③ 當時，，使得，即，

但當時，，即，

所以函數在上單調遞減，所以，

即函數在單調遞減，不符合題意．

綜上所述，的取值范圍是．

（3）記（），

① 若，注意到，則，即．

當時，

．

所以，函數在上單調遞增．

② 若，當x>1時，<0．

所以，函數在上單調遞減，

綜上所述，函數在區間上廣義單調．