Question

【題目】(2015·四川）設直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點，與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點M，且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（ ）
A.(1,3)
B.(1, 4)
C.(2,3)
D.(2,4)

Answer 1

【答案】D
【解析】顯然當直線f的斜率不存在時，必有兩條直線滿足題設.當直線l的斜率存在時，設斜率為k .設A(x1, y1), B(x2, y2)， x1≠x2 ， M(x0, y0)， 則,相減得（y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), 由于x1≠x2 ， 所以, 即ky0=2, 圓心為C（5,0），由CM⊥AB，得k·=-1, ky0=5- x0. 所以2=5- x0 ， x0=3， 即點M必在直線x=3上將x=3代入y2=4x得y2=12, ∴-2<y0<2. 因為點M在圓(x-5)2+y2=r2(r>0)上， 所以(x0-5)2+y02=r2 ， r2=y02+4<12+4=16, 又y02+4>4(由于斜率不存在， 故y0≠0， 所以不取等號），所以4<y02+4<16, 所以2<r<4, 選D。

首先應結合圖形進行分析.結合圖形易知，只要圓的半徑小于5，那么必有兩條直線（即與x軸 垂直的兩條切線）滿足題設，因此只需直線的斜率存在時，再有兩條直線滿足題設即可.接下來要解決的問題是當直線的斜率存在時，圓的半徑的范圍是什么.涉及 直線與圓錐曲線的交點及弦的中點的問題，常常采用“點差法”.在本題中利用點差法可得，中點必在直線x=3上，由此可確定中點的縱坐標y0的范圍，利用這個范圍即可得到r的取值范圍.