Question

【題目】(2015·湖北）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．
如圖，在陽馬P-ABCD中，側棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接
（1）證明：平面．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫
出結論）；若不是，說明理由；
（2）若面與面所成二面角的大小為 ， 求的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解答一：因為底面，所以,由底面為長方形，有,而,所以平面.而平面，所以.又因為,點是的中點，所以.而,所以平面.而平面，所以。又,,所以平面

.由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為.

解答二：如圖2，以D為原點，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標系。設，

則,,點E是PC的中點，所以,,于是

,即.又已知,而,所以平面.因,,則,所以平面，由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為.

（2）

【解析】（2）
解答一：如圖1，在面內，延長與交于點G，則DG是平面DEF與平面的交線，由（Ⅰ）知，平面，所以.又因為底面，所以。而,所以平面.故是面與面所成二面角的平面角，設,,有,在RtPDB中，由,得,則,解得.所以.
故當面與面所成二面角的大小為時，.

解答二：
由平面，所以是平面的一個法向量；由（Ⅰ）知平面，所以是平面的一個法向量。若面與面所成二面角的大小為，則,解得.所以.故當面與面所成二面角的大小為時，.