Question

【題目】(2015·新課標I卷）在直角坐標系xoy中，曲線C：y=與直線y=kx+a(a＞0)交與M,N兩點，
（1）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；
（2）y軸上是否存在點P ， 使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

x-y-a=0或x+y+a=0

（2）

存在

【解析】
(I)由題設可得M（2,a), N(-2,a), 或M（-2，a), N(2,a), ∵y'=x, 故y=在x=2a處的導數值為，C在（2a,a)處的切線方程為y-a=(x-2), 即x-y-a=0. 故y=在x=-2a處的導數值為-，C在（-2a,a)處的切線方程為y-a=-(x+2), 即x+y+a=0。 故所求切線方程為x-y-a=0或x+y+a=0。
(II)存在符合題意的點，證明如下:
設P（0，b)為復合題意得點，M(x1,y1), N（x2,y2), 直線PM, PN的斜率分別為k1,k2, 將y=kx+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0. ∴ x1+x2=4k, x1x2=-4a. ∴k1+k2===. 當b=-a時，有k1+k2=0, 則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故∠OPM=∠OPN，所以P（0，-a)符合題意。
【考點精析】認真審題，首先需要了解拋物線的參數方程(拋物線的參數方程可表示為)．