Question

【題目】已知底面為邊長為的正方形，側棱長為的直四棱柱中，是上底面上的動點.給出以下四個結論中，正確的個數是（ ）

①與點距離為的點形成一條曲線，則該曲線的長度是；

②若面，則與面所成角的正切值取值范圍是；

③若，則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為.

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

①與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，利用弧長公式，可得結論；②當在（或時，與面所成角（或的正切值為最小，當在時，與面所成角的正切值為最大，可得正切值取值范圍是；③設，，，則，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影長，即可求出六個面上的正投影長度之和．

如圖：

①錯誤， 因為 ，與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，長度為；

②正確，因為面面，所以點必須在面對角線上運動，當在（或）時，與面所成角（或）的正切值為最小（為下底面面對角線的交點），當在時，與面所成角的正切值為最大，所以正切值取值范圍是；

③正確，設，則，即，在前后、左右、上下面上的正投影長分別為，，，所以六個面上的正投影長度之，當且僅當在時取等號.

故選：.