Question

【題目】某工廠，兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下通過日常監控得知，生產線生產的產品為合格品的概率分別為和.

（1）從，生產線上各抽檢一件產品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.

（2）假設不合格的產品均可進行返工修復為合格品，以（1）中確定的作為的值.

①已知，生產線的不合格產品返工后每件產品可分別挽回損失元和元。若從兩條生產線上各隨機抽檢件產品，以挽回損失的平均數為判斷依據，估計哪條生產線挽回的損失較多？

②若最終的合格品（包括返工修復后的合格品）按照一、二、三等級分類后，每件分別獲利元、元、元，現從，生產線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測，結果統計如下圖；用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產一件產品的利潤為，求的分布列并估算該廠產量件時利潤的期望值.

Answer 1

【答案】(1) (2) ①生產線上挽回的損失較多. ②見解析

【解析】

(1)由題意得到關于的不等式，求解不等式得到的取值范圍即可確定其最小值；

(2)①.由題意利用二項分布的期望公式和數學期望的性質給出結論即可；

②.由題意首先確定X可能的取值，然后求得相應的概率值可得分布列，最后由分布列可得利潤的期望值.

（1）設從，生產線上各抽檢一件產品，至少有一件合格為事件，設從，生產線上抽到合格品分別為事件，，則，互為獨立事件

由已知有，

則

解得，則的最小值

（2）由（1）知，生產線的合格率分別為和，即不合格率分別為和.

①設從，生產線上各抽檢件產品，抽到不合格產品件數分別為，，

則有，，所以，生產線上挽回損失的平均數分別為：

，

所以生產線上挽回的損失較多.

②由已知得的可能取值為，，，用樣本估計總體，則有

，，

所以的分布列為

所以（元）

故估算估算該廠產量件時利潤的期望值為（元）