Question

【題目】在直角坐標系中，直線的方程為，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的直角坐標方程；

（2）已知點，直線與軸正半軸交于點，與曲線交于，兩點，且，，成等比數列，求直線的極坐標方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式，結合極坐標與直角坐標轉化公式進行求解即可；

（2）寫出直線的參數方程，求出的表達式，將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程中，利用參數的意義，結合等比數列的性質進行求解即可.

（1）方程可化為，

將代入上式，得曲線的直角坐標方程.

（2）由直線的方程為，知直線過點，

記直線的傾斜角為，，

設直線的參數方程為（為參數），

令，得點對應的參數值為，即，

把代入，得，

整理，得，

則有.

設，對應的參數值分別為，，

則，，

因為，，成等比數列，則，

所以，

所以或，

解得或，

的普通方程為或，

故的極坐標方程為或.