Question

【題目】已知函數．

（1）判斷函數的奇偶性，并給出證明；

（2）解不等式： ；

（3）若函數在上單調遞減，比較f（2）+f（4）+…+f（2n）與2n（n∈N*）的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）原不等式的解集為：（-∞，1）∪（4，+∞）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）先求定義域，判斷關于原點是否對稱；再求,判斷與關系，最后根據奇偶性定義確定奇偶性（2）先根據定義確定函數單調性，再利用函數奇偶性以及單調性化簡不等式，最后解不等式x2+x+3＜2x2-4x+7，可得解集（3）由函數在上單調遞減，得g（x）＜g（1）=0，再作差化簡得f（2）+f（4）+…+f（2n）-2n=ln（2n+1）-2n=ln（2n+1）-[（2n+1）-1]，最后根據單調性得結果

試題解析：（1）函數f（x）為奇函數．

證明如下：由，解得x＜-1或x＞1，

所以函數的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）對任意的x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），

有，

所以函數f（x）為奇函數．

（2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，則==， 因為x2＞x1＞1，所以x1x2+x2-x1-1＞x1x2-（x2-x1）-1＞0，

所以，所以f（x1）-f（x2）＞0，

所以f（x1）＞f（x2），所以函數y=f（x）在（1，+∞）單調遞減；

由f（x2+x+3）+f（-2x2+4x-7）＞0得：f（x2+x+3）＞-f（-2x2+4x-7），

即f（x2+x+3）＞f（2x2-4x+7），

又 ，2x2-4x+7=2（x-1）2+5＞1 ，

所以x2+x+3＜2x2-4x+7， 解得：x＜1或x＞4，

所以原不等式的解集為：（-∞，1）∪（4，+∞）

（3）f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N*）．理由如下：

因為，

所以f（2）+f（4）+…+f（2n）-2n=ln（2n+1）-2n=ln（2n+1）-[（2n+1）-1]，

又g（x）=lnx-（x-1）在（1，+∞）上單調遞減，

所以當x＞1時，g（x）＜g（1）=0，所以g（2n+1）＜0，

即ln（2n+1）-[（2n+1）-1]＜0，

故f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N）．