Question

【題目】已知函數 在區間[﹣ ， ]上有f（x）＞0恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A.（0，2]
B.[2，+∞）
C.（0，5）
D.（2，5]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函數f（x）=ax3﹣ x2+1，（x∈R，a＞0）

∴f′（x）=3ax2﹣3x，

由f′（x）=0，得x=0，或x= ，

①當 ≥ ，0＜a≤2時，

∵f（﹣ ）= ﹣ ，f（ ）= + ，f（0）=1，

∴在區間[﹣ ， ]上，f（x）min= ﹣ ，

∵在區間[﹣ ， ]上，f（x）＞0恒成立，

∴f（x）min= ﹣ ＞0，解得a＜5，

∴0＜a≤2．

②當 ＜ ，a＞2時，

∵f（﹣ ）= ﹣ ，f（ ）= + ，f（0）=1，f（ ）=1﹣ ，

∴在區間[﹣ ， ]上，f（x）min= ﹣ ，

∵在區間[﹣ ， ]上，f（x）＞0恒成立，

∴f（x）min= ﹣ ＞0，解得a＜5，

∴2＜a＜5．

綜上所述，a的取值范圍是（0，5），

故選：C．

【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．