Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞0）的焦點在x軸上，且橢圓C的焦距為2． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點R（4，0）的直線l與橢圓C交于兩點P，Q，過P作PN⊥x軸且與橢圓C交于另一點N，F為橢圓C的右焦點，求證：三點N，F，Q在同一條直線上．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓 的焦點在x軸上，

∴a2＞7﹣a2，即 ，

∵橢圓C的焦距為2，且a2﹣b2=c2，

∴a2﹣（7﹣a2）=1，解得a2=4，

∴橢圓C的標準方程為 ；

（Ⅱ）證明：由題知直線l的斜率存在，

設l的方程為y=k（x﹣4），點P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x1，﹣y1），

則 得3x2+4k2（x﹣4）2=12，

即（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0， ， ，

由題可得直線QN方程為 ，

又∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），

∴直線QN方程為 ，

令y=0，整理得 =

= = ，

即直線QN過點（1，0），

又∵橢圓C的右焦點坐標為F（1，0），

∴三點N，F，Q在同一條直線上．

【解析】（Ⅰ）由橢圓的焦點位置分析可得a2＞7﹣a2，進而由橢圓的幾何性質可得a2﹣（7﹣a2）=1，解可得a的值，代入橢圓的方程即可得答案；（Ⅱ）分析可得直線l的斜率存在，設l的方程為y=k（x﹣4），聯立直線與橢圓的方程，由根與系數的關系分析可得直線QN方程，令y=0，可得直線QN過點（1，0），由橢圓的幾何性質分析可得答案．