Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x+1

，a為常數(shù)．
（1）若a=

9

2

，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的值域；（e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.72）
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+x在[1，2]上為單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、端點(diǎn)處函數(shù)值，比較它們大小關(guān)系，可得最小值、最大值；
（2）分離參數(shù)a后，構(gòu)造函數(shù)求最值，利用導(dǎo)數(shù)可求最值；

解答： 解：（1）由題意f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

，
當(dāng)a=

9

2

時，f′(x)=

1

x

-

9 2

(x+1)2

=

(x-2)(2x-1)

2x(x+1)2

，
∵x∈[1，e]，∴f（x）在[1，2）上為減函數(shù)，[2，e]上為增函數(shù)，
又f(2)=ln2+

3

2

，f(1)=

9

4

，f(e)=1+

9

2e+2

，比較可得f（1）＞f（e），
∴f（x）的值域為[ln2+

3

2

，

9

4

]；
（2）由題意得g′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

+1≤0在x∈[1，2]恒成立，
∴a≥

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+3x+

1

x

+3恒成立，
設(shè)h(x)=x2+3x+

1

x

+3(1≤x≤2)，
則當(dāng)1≤x≤2時h′(x)=2x+3-

1

x2

＞0恒成立，h（x）遞增，
∴h(x)max=h(2)=

27

2

，
∴a≥

27

2

，即實數(shù)a的取值范圍是[

27

2

，+∞)．

點(diǎn)評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想．