Question

已知f（x）=3x²-2x，數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

3

anan+1

，T_n是數列{b_n}的前n項和，求使得T_n＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出Sn=3n2-2n，由此能求出a_n=6n-5，n∈N^*．
（2）由bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，利用裂項求和法求出T_n=

1

2

-

1

2(6n+1)

＜

1

2

，由此能求出滿足要求的最小整數m=10．

解答： 解：（1）∵f（x）=3x²-2x，數列{a_n}的前n項和為S_n，
點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上，
∴Sn=3n2-2n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，
當n=1時，a₁=S₁=3-2=1，滿足上式，
∴a_n=6n-5，n∈N^*．
（2）由（1）得bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

7

+

1

7

-

1

13

+

1

13

-

1

19

+…+

1

6n-5

-

1

6n+1

)
=

1

2

-

1

2(6n+1)

＜

1

2

，
∴使得T_n＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m必須且僅須滿足

1

2

≤

m

20

，
即m≥10，∴滿足要求的最小整數m=10．

點評：本題考查數列的前n項和的求法，考查滿足要求的最小整數n的求法，是中檔題，解題時要注意裂項求和法的合理運用．