Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，PA=1．
（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求點C到平面PBD的距離．
（Ⅲ）求PC與平面PAD所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明BC⊥平面PAB，可得平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅱ）利用V_C-PBD=V_P-BCD，可求點C到平面PBD的距離．
（Ⅲ）證明BD⊥平面PAD，求出點C到平面PAD的距離，即可求PC與平面PAD所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：∵AB=2BC=2CD=2，AB⊥BC，AB∥CD，
∴S_△BCD=

1

2

，BD=AD=

2

，
∵PA⊥底面ABCD，PA=1，
∴PD=

3

，PB=

5

，
∴BD²+PD²=PB²，
∴BD⊥PD，
∴S_△PBD=

1

2

×

2

×

3

=

6

2

設點C到平面PBD的距離為h，
∵V_C-PBD=V_P-BCD，
∴

1

3

×

6

2

h=

1

3

×

1

2

×1，
∴h=

6

6

；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，BD⊥PD，
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵PA∩PD=P，
∴BD⊥平面PAD，
連接AC交BD于E，則CA=

5

，AE=

10

2

，DE=

2

2

，
由相似形可得，點C到平面PAD的距離=

CA×DE

AE

=1，
∵PC=

6

，
∴PC與平面PAD所成的角的正弦值是

6

6

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到空間中點、線、面的位置關系，結合有關定理進行證明即可，并且也有利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關知識解決空間角與空間距離等問題．