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【題目】已知橢圓E:，若橢圓上一點與其中心及長軸一個端點構(gòu)成等腰直角三角形.

（Ⅰ）求橢圓E的離心率；

（Ⅱ）如圖，若直線l與橢圓相交于AB且AB是圓的一條直徑，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)中的等腰直角三角形可以得到，代入橢圓方程得到的關(guān)系，可從中解得離心率．

（Ⅱ）因為圓的直線，故弦的長度和中點已知，通過設(shè)交點的坐標(biāo)和直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元后利用韋達定理得到中點坐標(biāo)與斜率的關(guān)系，最后再通過弦長為得到的大小．

詳解：（Ⅰ）由題意得橢圓上的點坐標(biāo)為，

代入橢圓方程可得，即，

∴，∴，∴．

（Ⅱ）設(shè)橢圓方程為，直線為，，

由得（*）

故，．

又，故，

則，

故，，橢圓方程為.

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【題目】某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表)，得到了散點圖(如下圖)．


1.47	20.6	0.78	2.35	0.81	-19.3	16.2

表中．

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)

（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；

（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量成正比，那么為多少時，燒開一壺水最省煤氣？

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

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【題目】如圖,在以為頂點的五面體中,底面是矩形, .

(1)證明: 平面;

(2)在中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中,稱圖中所示的五面體為“芻甍”(chúméng),書中將芻甍的體積求法表述為:

術(shù)曰:倍下袤,上袤從之,以廣乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若芻甍的“下袤” 的長為,“上袤” 的長為,“廣” 的長為,“高”即“點到平面的距離”為,則芻甍的體積的計算公式為: ,證明該體積公式.

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【題目】某市交管部門為了宣傳新交規(guī)舉辦交通知識問答活動，隨機對該市15～65歲的人群抽樣，回答問題統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示．