Question

【題目】某中學(xué)調(diào)查防疫期間學(xué)生居家每天鍛煉時(shí)間情況，從高一、高二年級學(xué)生中分別隨機(jī)抽取100人，由調(diào)查結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：

（Ⅰ）寫出頻率分布直方圖（高一）中的值；記高一、高二學(xué)生100人鍛煉時(shí)間的樣本的方差分別為，，試比較，的大小（只要求寫出結(jié)論）；

（Ⅱ）估計(jì)在高一、高二學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，恰有一人的鍛煉時(shí)間大于20分鐘的概率；

（Ⅲ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，高二學(xué)生鍛煉時(shí)間服從正態(tài)分布．其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，且每名學(xué)生鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，設(shè)表示從高二學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，其鍛煉時(shí)間位于的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望．

注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,計(jì)算得

②若，則，

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）0.42（Ⅲ）6.826

【解析】

(I)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)即可判斷方差的大小，利用頻率總和為1即可求出的值；

(II)先設(shè)設(shè)事件：在高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其鍛煉時(shí)間不大于20分鐘，事件：在高二學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其鍛煉時(shí)間不大于20分鐘，根據(jù)圖形數(shù)據(jù)可得到它們的概率，而恰有一人的鍛煉時(shí)間大于20分鐘分兩種情況：一種是這個(gè)人在高一；另一種是這個(gè)人在高二；再不出它們的概率和即可；

(III)利用所給的數(shù)據(jù)分別求出樣本平均數(shù)和樣本方差，代入公式即可求出概率和數(shù)學(xué)期望.

解：（Ⅰ），；

（Ⅱ）設(shè)事件：在高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其鍛煉時(shí)間不大于20分鐘，

事件：在高二學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其鍛煉時(shí)間不大于20分鐘，

事件：在高一、高二學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，恰有一個(gè)學(xué)生鍛煉時(shí)間大于20分鐘，且另一個(gè)不大于20分鐘，

則，

，

．

（Ⅲ），由條件得，

從而，

從高二中隨機(jī)抽取10人，其鍛煉時(shí)間值位于的概率是0．6826，

根據(jù)題意得，．