Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數在區間上的最值；

（2）若函數在上是單調函數，求實數的取值范圍；

（3）若不等式在區間上恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函數的最大值為，函數的最小值為；（2）或；（3）1.

【解析】

（1）求，判斷在區間上的單調性，即求函數在區間上的最值；

（2）函數在上是單調函數，則或在上恒成立，即得實數的取值范圍；

（3）求出.分，，三種情況討論，求出不等式在區間上恒成立時，實數的取值范圍，即求的最小值.

（1）當時，，，

	0
			極小值
	0	單減		單增

顯然，

則函數的最大值為，函數的最小值為；

（2）當函數在上單調遞增時，

當且僅當，即恒成立，得；

當函數在上單調遞減時，

當且僅當，即恒成立，得；

綜上，若函數在上是單調函數，實數的取值范圍為或；

（3），且，

當時，在區間上，得；

當時，在區間上，得恒成立；

當時，由，故存在，

使得成立，

同時在區間上，，在區間上單調遞減，

，所以在區間上小于零.

綜上，不等式在區間恒成立時，.

的最小值為1.