Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，半焦距為，過點作軸、軸的垂線，垂足分別點，，且四邊形的面積為2.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知經過點的直線與橢圓交于，兩點，設直線與直線的傾斜角分別為，，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）四邊形的面積為2.得到，離心率，聯解可得;

（2）直線的方程為,與橢圓方程聯解，設點，，直線與橢圓交于，兩點得，由，利用根與系數關系代入化簡可得，再求出的表達式，利用兩角和的正切公式可得解.

（1）∵四邊形的面積為，∴.①

∵橢圓：的離心率為，∴.②

聯系①②，解得，.∴.

∴橢圓的標準方程為.

（2）由（1）得，.當直線垂直于軸時，直線的方程為，

此時直線與橢圓相切，與題意不符；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為.

由

得.

設點，，則

所以

.

故.

.

∴.

又∵，∴的取值范圍為.