Question

【題目】如圖，四邊形為菱形，且，，，點(diǎn)在面上的投影恰在上，點(diǎn)為中點(diǎn).

（1）求證：為線(xiàn)段的中點(diǎn)；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）過(guò)作于，連接，證明點(diǎn)為中點(diǎn).又利用面，證得，結(jié)合條件，即可證明面，從而得到，證明是中位線(xiàn)，即可證明為線(xiàn)段的中點(diǎn)；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面的一個(gè)法向量以及平面的一個(gè)法向量，再求出兩個(gè)法向量的夾角的余弦，通過(guò)觀(guān)察得二面角與兩法向量夾角相等，則可得結(jié)論..

（1）證明：過(guò)作于，連接，

由菱形，，及，

可知，為中點(diǎn)，

面，，

又，面，

面，，

又，，

由為中點(diǎn)，可知，為線(xiàn)段的中點(diǎn)；

（2）以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，

過(guò)平行的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，

設(shè)面的一個(gè)法向量，

，，

，取

設(shè)面的一個(gè)法向量，

，，

，取，

∴，

二面角的余弦值為.