【題目】如圖，在四棱錐
中，
，底面
為直角梯形，
，
分別為
中點，且
，
.
（1）
平面；
（2）若
為線段
上一點，且
平面
，求
的值；
（3）求二面角
的大小.
【答案】（1）詳見解析；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）連結
，利用勾股定理逆定理可證明
，又易證
，可證明
平面
（2）連接
，根據
，
平面
可得
，進而
，利用
為
中點可得結論（3）取
的中點
連結
，由（1）知
，且
，
，建立空間直角坐標系
，求平面，平面的法向量，計算其夾角即可.
（1）證明：連結
，
為
的中點
，且
，
又
，
是
中點，
，
由已知
，
，且
是平面內兩條相交直線
平面.
（2）連接，由已知底面為直角梯形，
，
則四邊形
為平行四邊形
所以
因為平面，
平面，平面
平面
，
所以
所以
因為為中點，所以為中點
所以
，又因為點為的中點.
所以
.
（3）取的中點連結，由（1）知，且，，
如圖，建立空間直角坐標系.
因為
所以
，
，
，
由于平面，所以平面的法向量
設平面的法向量
，則有
即
令
，則
，
，即
由題知二面角
為銳二面角
所以二面角的大小為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義在區間
上的函數
的圖象關于直線
對稱，當
時，函數
.
（1）求
，
的值；
（2）求的表達式；
（3）若關于
的方程
有解，那么將方程在
取某一確定值時所求得的所有解的和記為
，求的所有可能值及相應的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
：
的焦點為
，點
為上異于頂點的任意一點，過的直線
交于另一點
，交
軸正半軸于點
，且有
，當點的橫坐標為3時，
為正三角形.
（1）求的方程；
（2）若直線
，且
和相切于點
，試問直線
是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，港口
在港口
的正東120海里處，小島
在港口的北偏東
的方向，且在港口北偏西
的方向上，一艘科學考察船從港口出發，沿北偏東的
方向以20海里/小時的速度駛離港口.一艘給養快艇從港口以60海里/小時的速度駛向小島，在島轉運補給物資后以相同的航速送往科考船.已知兩船同時出發，補給裝船時間為1小時.
（1）求給養快艇從港口到小島的航行時間；
（2）給養快艇駛離港口后，最少經過多少小時能和科考船相遇？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數
滿足
（
），且
．
（1）求
的解析式；
（2）若函數
在區間
上是單調函數，求實數
的取值范圍；
（3）若關于
的方程
有區間
上有一個零點，求實數
的取值范圍．
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