Question

【題目】求平面直角坐標系中格點凸五邊形(即每個頂點的縱、橫坐標都是整數的凸五邊形)的周長的最小值。

Answer 1

【答案】

【解析】

設此凸五邊形的5個頂點依次為，坐標為，并用復數表示頂點為虛數單位。

記，則

1.的實部與虛部都是整數，且（從而）；

2.；

3.凸五邊形的周長為。

由凸性知，任意兩個不具有同一方向。由1知，若某個，滿足，則只能是，

中模為1的個數至多只有4個：。

1.若中1的個數恰為4，由2知，余下一個為0，與1矛盾。

2.若中1的個數恰為3，剩下的兩個都為（模為的至多只有4個，），則他們不會滿足2，于是，此時，周長不小于。

3.若中恰有2個1，剩下的3個都為，如圖所示，此時周長為。

4.其他情況，周長不小于。

綜上可知，格點凸五邊形周長的最小值為。