Question

【題目】已知函數(shù)， ，其中， ， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）若和在區(qū)間內(nèi)具有相同的單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，且函數(shù)的最小值為,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）的最小值為.（2）.

【解析】試題分析：（1）由在上恒成立在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)， ，即在上單調(diào)遞增，不合題意；

當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)工具得的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為

和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性的取值范圍是；（2）由，設(shè)利用導(dǎo)數(shù)工具得，再根據(jù)單調(diào)性

設(shè)在上遞減的最小值為.

試題解析： （1），

在上恒成立，即在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)， ，即在上單調(diào)遞增，不合題意；

當(dāng)時(shí)，由，得，由，得.

∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，

∴，解得，

綜上， 的取值范圍是.

（2），

由得到，設(shè)，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

從而在上遞減，在上遞增.∴.

當(dāng)時(shí)， ，即，

在上， 遞減；

在上， 遞增.∴，

設(shè)，

在上遞減.∴；

∴的最小值為.