Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到直線的距離

之比是常數(shù)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)且不與軸重合的直線，與軌跡交于,兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，與軌跡是否存在點(diǎn)，使得四邊形為菱形？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)或.

【解析】

試題分析：（1）直接根據(jù)題設(shè)條件列出等式，再進(jìn)行化簡，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）先假設(shè)存在，并設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理得到中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可求出直線的方程.

試題解析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，

動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是常數(shù)，

由題意，得，

化簡整理得的方程為.

軌跡的方程為. ...（3分）

（2）假設(shè)存在滿足條件.依題意設(shè)直線為，

聯(lián)立，消去，得，

令，，

則，，...（7分）

的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

，直線的方程為，

令，解得，即. ...（9分）

、關(guān)于點(diǎn)對稱，，，

解得，，即. ...（11分）

點(diǎn)在橢圓上，，

解得，，，

的方程為或. ...（13分）