Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）設，若對任意、，且，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出函數的定義域和導數，然后分和兩種情況討論，分析在的符號，可得出函數的單調區間；

（Ⅱ）設，由函數和在上的單調性，將不等式等價轉化為，并構造函數，將問題轉化為函數在上是減函數，然后由在上恒成立，結合參變量分離法可求出實數的取值范圍.

（Ⅰ）函數的定義域為，.

當時，恒成立，此時，函數在上單調遞增；

當時，由得；由得.

此時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（Ⅱ）時，函數在上遞增，在上遞減，

不妨設，則，，

等價于，

即，令，

等價于函數在上是減函數，

，即在恒成立，

分離參數，得，

令，，在上單調遞減，

，，又，故實數的取值范圍為.