Question

【題目】已知函數.

(Ⅰ)若的值域為，求的值；

(Ⅱ)巳，是否存在這祥的實數，使函數在區間內有且只有一個零點.若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在，

【解析】

（1）的值域為，則函數必須是開口向上、與軸有唯一交點的二次函數.可以求出的值.

（2）已知某函數零點個數，求參數問題，函數零點問題可以轉化為方程根或者通過轉化變成兩圖象交點個數問題.本題中令 ，則它的圖象非常熟悉，而在∈的圖象則需要考慮是否是二次函數，當確定是二次函數時，考慮函數的開口方向，對稱軸與區間的位置關系（為了更好的研究函數在區間的單調性，便于考慮它的性質）.

(Ⅰ)函數的值域為，則，解得.

(Ⅱ)由，

即

令，，∈，原命題等價于兩個函數與的圖象在內有唯一交點.

(1)當時，在上遞減，在上遞增，

而g(1)=1>0=h(1)，g(2)=-1<1=h(2)，

∴函數與的圖象在內有唯一交點.

(2)當時，圖象開口向下，對稱軸為，在上遞減，

在上遞增，與的圖象在內有唯一交點，

當且僅當，即即.

∴

(3)當時，圖象開口向上，對稱軸為，在上遞減，在上遞增，與的圖象在內有唯一交點，

，即即，

∴.

綜上，存在實數，使函數于在區間內有且只有一個點.