Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，.

（1）證明：平面；

（2）若是的中點，是棱上一點，且平面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）根據條件中的數據，可得，，從而得到平面，得到，結合正方形中，得到平面；（2）以、、為軸建立空間直角坐標系，得到平面的法向量，平面的一個法向量為，由向量的夾角公式，得到答案.

（1）證明：∵，.

∴，，

∴，，，平面

∴平面，

而平面

∴．

又∵為正方形，

∴，，平面

∴平面．

（2）解：如圖，連接，取的中點，

設，連接，則，

從而平面，平面與的交點即為．

以、、為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

，，，

，

平面即平面，設其法向量為，

則即

令，得，

易知平面的一個法向量為，

∴.

因為二面角為銳二面角，

故所求余弦值為．