Question

我們用部分自然數構造如下的數表：用a_ij(i≥j)表示第i行第j個數(i、j為正整數)，使a_il=a_ii="i" ；每行中的其余各數分別等于其“肩膀”上的兩個數之和(第一、二行除外，如圖)，設第n(n為正整數)行中各數之和為b_n．
（1）試寫出b₂一2b₁；，b₃-2b₂，b₄-2b₃,b₅-2b₄，并推測b_n+1和b_n的關系(無需證明)；
（2）證明數列{b_n+2}是等比數列，并求數列{b_n}的通項公式b_n；
（3）數列{ b_n}中是否存在不同的三項b_p，b_q，b_r(p，q，r為正整數)恰好成等差數列?若存在求出P，q，r的關系；若不存在，請說明理由．
 

Answer 1

（1）b_n+1-2 b_n=2（2）b_n =3×2^n-1-2（3）不存在

（1）b_l=1,；b₂=4；b₃=10；b₄=22；b₅=46：
可見：b₂-2 b_l=2；b₃-2 b₂=2；b₄-2 b₃=2；b₅-2 b₄=2
猜測：b_n+1-2 b_n="2" (或b_n+1="2" b_n+2或b_n+1- b_n=3×2^n-1)
（2）由（1）
所以{b_n+2}，是以b₁+2=3為首項，2為公比的等比數列，
∴ b_n+2=3×2^n-1  ,即b_n =3×2^n-1-2。。-
(注：若考慮，且不討論n=1，扣1分)
（3）若數列{ b_n }中存在不同的三項b_p, b_q, b_r(p,q,r∈N)恰好成等差數列，不妨設p>q>r,顯然，{ b_n }是遞增數列，則2 b_q= b_p, + b_r
即2×（3×2^q-1-2）=（3×2^p-1-2）+（3×2^r-1-2）,于是2×2^q-r=2^q-r+1
由p,q,r∈N且p>q>r知，q-r≥1，p-r≥2
∴等式的左邊為偶數，右邊為奇數，不成立，故數列{b_n}中不存在不同的三項b_p，b_q，b_r(p,q,r∈N)恰好成等差數列--