Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.

（1）若∠ABC＝30°，求DC；

（2）記∠ABC＝θ，當θ為何值時，△BCD的面積有最小值？求出最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）θ＝75°時，面積取最小值.

【解析】

（1）由題意可求∠ADC＝120°，在△ACD中，可得∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠ADC＝120°，進而由正弦定理解得CD的值.

（2）由題意可得可得∠CAD＝30°，可求∠ADC＝150°﹣θ，在△ADC中，由正弦定理解得，在△ABC中解得，利用三角形的面積公式，三角函數恒等變換的應用可求S△BCD，結合范圍0°＜θ＜150°，可得﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，利用正弦函數的性質即可求解.

解：（1）在四邊形ABCD中，因為AD⊥AB，∠BCD＝120°，∠ABC＝30°，

所以∠ADC＝120°，

在△ACD中，可得∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠ADC＝120°，

AC＝2，由正弦定理得：，

解得：.

（2）因為∠CAB＝60°，AD⊥AB可得∠CAD＝30°，

四邊形內角和360°得∠ADC＝150°﹣θ，

∴在△ADC中，由正弦定理得：，解得：，

在△ABC中，由正弦定理得：，解得，

∴S△BCD

，

∵0°＜θ＜150°，

∴﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，

∴當2θ﹣60°＝90°即θ＝75°時，S取最小值為.