Question

【題目】已知定義域為的函數是奇函數.

（1）求，判斷函數的單調性并證明.

（2）對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）, 函數為單調遞減函數,證明見詳解；

（2）

【解析】

（1）由函數是奇函數，可得，代入可得的值，判斷函數為單調遞減函數，用定義法可得證明；

（2）由函數的單調性與奇偶性，對任意的不等式恒成立可化為恒成立，分離參數可得，設求出的最小值，可得的取值范圍.

解：由函數是奇函數，且函數的定義域為,故，

即，，故，

判斷函數為單調遞減函數，證明如下：

設，

易得：，，故，

故數為單調遞減函數；

（2）由題意,對于任意的不等式恒成立,

可得恒成立，由（1）可得單調遞減，

故可得：對于任意的，恒成立，

故可得：，可得，，

設，易得為單調遞減的函數，

可得

故可得，

故的取值范圍為.