Question

設f（x）=e^x-ax-a．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）≥0對一切x≥-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）將a=1代入f（x）=e^x-ax-a得：f（x）=e^x-x-1求f（x）的導數，由f'（x）＞0；f'（x）＜0便可得f（x）的單調區間；
（Ⅱ）由f（x）≥0，得a≤

ex

x+1

，（x＞-1），令h（x）=

ex

x+1

，則h′（x）=

xex

(x+1)2

，得h（x）在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，進而h（x）≥h（0）=1，（x＞-1），從而求出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=e^x-x-1，
∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（Ⅱ）由f（x）≥0，
得a≤

ex

x+1

，（x＞-1），
令h（x）=

ex

x+1

，則h′（x）=

xex

(x+1)2

，
令h′（x）＞0，解得：x＞0，
令h′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
∴h（x）在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴h（x）≥h（0）=1，（x＞-1），
∴a≤1，
又x=-1時，（x+1）a≤e^x即為0•a≤e^-1，
此時a取任意值都成立，
綜上得：a≤1．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，不等關系，求參數的范圍，是一道綜合題．