Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，P、Q分別是線段AD₁和BD上的點，且D₁P：PA=DQ：QB=5：12，
（1）求線段PQ的長度；
（2）求證PQ⊥AD；
（3）求證：PQ∥平面CDD₁C₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱的結構特征,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）在AD上取點E，使得DE：EA=5：12，可得PE=

12

17

，ED=

5

17

，利用勾股定理，求出線段PQ的長度；
（2）證明AD⊥平面PEQ，可得PQ⊥AD；
（3）證明平面PEQ∥平面CDD₁C₁，可得PQ∥平面CDD₁C₁．

解答： （1）解：在AD上取點E，使得DE：EA=5：12，
∵D₁P：PA=DQ：QB=5：12，
∴PE∥DD₁，EQ∥AB，
∴PE⊥AD，EQ⊥AD
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，
∴PE=

12

17

，EQ=

5

17

，
∴PQ=

( 12 17 )2+( 5 17 )2

=

13

17

；
（1）證明：∵PE⊥AD，EQ⊥AD，PE∩EQ=E，
∴AD⊥平面PEQ，
∵PQ?平面PEQ，
∴PQ⊥AD；
（3）證明：∵PE∥DD₁，PE?平面CDD₁C₁，DD₁?平面CDD₁C₁，
∴PE∥平面CDD₁C₁，
同理EQ∥平面CDD₁C₁，
∵PE∩EQ=E，
∴平面PEQ∥平面CDD₁C₁，
∵PQ?平面PEQ，
∴PQ∥平面CDD₁C₁．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查空間中直線與直線之間的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．