Question

【題目】在單調(diào)遞增數(shù)列中，，，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，。

（Ⅰ）（ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：，。

Answer 1

【答案】（1）緊扣等差數(shù)列定義證明，（2）當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時。（3）證明見解析。

【解析】

試題分析：要證明數(shù)列為等差數(shù)列，只需證明成立，由于數(shù)列首項(xiàng)為正，

數(shù)列為單調(diào)遞增，說以，由成等差數(shù)列，得……（1），由因?yàn)?/span>，成等比數(shù)列，則，于是代入（1）式整理得：得證；先求，備用，由于數(shù)列為等差數(shù)列，可借助等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再由求出，最后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況表達(dá)，由于數(shù)列的通項(xiàng)公式分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況表達(dá)的，所以需要合在一起，合成公式是

，合成后對進(jìn)行放縮，這里技巧很重要，

，再求，最后利用裂項(xiàng)相消法求和達(dá)到證明不等式的目的；

試題解析：（ⅰ）因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，，所以()。由題意成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，．得,，于是，化簡得，所以數(shù)列為等差數(shù)列。

（ⅱ）又，，所以數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，所以，從而。結(jié)合可得。因此，當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時。

（2）所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：

。因，所以；則有，所以，。