Question

【題目】已知函數(shù)

（1）寫(xiě)出函數(shù)的定義域和值域；

（2）證明函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)；

（3）試判斷函數(shù)的奇偶性，并證明.

Answer 1

【答案】（1）定義域，值域；（2）詳見(jiàn)解析；（3）奇函數(shù)，證明詳見(jiàn)解析。

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，將轉(zhuǎn)化為，則函數(shù)的值域?yàn)?/span>，本問(wèn)主要考查求函數(shù)的定義域、值域，屬于對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的考查；（2）應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義證明，設(shè)是上任意不等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則，

，由于且，則，即，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；（3），函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，因此函數(shù)為奇函數(shù)。

試題解析：（1）定義域

又 ∴值域?yàn)?/span>

（2）設(shè)

∴,,

∴, 即

∴函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)

（3）由于函數(shù)，

其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

且

∴函數(shù)為奇函數(shù).