Question

【題目】已知小矩形花壇ABCD中，AB＝3m，AD＝2m，現要將小矩形花壇建成大矩形花壇AMPN，使點B在AM上，點D在AN上，且對角線MN過點C.

（1）要使矩形AMPN的面積大于32m2，AN的長應在什么范圍內？

（2）M，N是否存在這樣的位置，使矩形AMPN的面積最小？若存在，求出這個最小面積及相應的AM。

Answer 1

【答案】

（1）（2，）或（8，＋∞）

（2）當AM＝6，AN＝4時，Smin＝24.

【解析】

試題分析：

（1）由題如圖，可先設出所求的量；AM＝x，AN＝y（x>3，y>2），再由矩形的面積公式建立關系式，另由圖可發現；△NDC∽△NAM，則可找到長與寬的關系式，從而建立關于AN＝y，的二次不等式，求解可得AN的取值范圍；

（2）由題為建設后矩形面積的最小值，可由（1）得出的函數關系式，進行代數變形利用均值不等式（注意條件，正，定，相等）可求出相應的最小值。

試題解析：

（1）設AM＝x，AN＝y（x>3，y>2），矩形AMPN的面積為S，則S＝xy.

∵△NDC∽△NAM，∴＝，∴x＝，

∴S＝（y>2）．由>32，得2<y<，或y>8，

∴AN的長度應在（2，）或（8，＋∞）內．

（2）當y>2時，S＝＝3（y－2＋＋4）≥3×（4＋4）＝24，

當且僅當y－2＝，即y＝4時，等號成立，解得x＝6.

∴存在M，N點，當AM＝6，AN＝4時，Smin＝24.