Question

【題目】數列的前n項和記為，，數列滿足：

（1）求數列，的通項公式；

（2）數列滿足，求數列的前n項和；

（3）若對任意正整數n都成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）由可得是等比數列，公比是-2，首項為1，由此可求出的通項公式，再對化簡變形即可求出的通項公式；（2）根據錯位相減法求出數列的前n項和即可；（3）令，利用作差法研究單調性，分析可知，從而解不等式即可求得結果.

（1）∵，，

∴，，

兩式相減，則，即，

∴，，

∵∴，

∴是等比數列，公比是-2，首項為1，

∴.

∵，，

∴；

（2）∵∴，

∴，

，

兩式相減得

.

∴；

（3）令，

，

當時，，∴，即，

當時，，∴即，

當時，，∴，

∴…，

∴當時，．

∵對任意正整數n都成立，

∴，

解得．

所以實數x的取值范圍是．