Question

【題目】已知橢圓的離心率，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求線段的垂直平分線在軸截距的范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析:（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，與離心率聯(lián)立方程組，解得a,b（2）先設(shè)的方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得MN中點(diǎn)坐標(biāo)以及斜率k取值范圍，根據(jù)點(diǎn)斜式得線段的垂直平分線方程，解得在軸截距關(guān)于斜率k函數(shù)關(guān)系式，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，得其范圍

試題解析：（1）

（2）的斜率不存在時(shí)，的垂直平分線與軸重合，沒(méi)有截距，故的斜率存在.

設(shè)的方程為，代入橢圓方程

得： 與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

，即，即或

設(shè)的中點(diǎn)

則

的垂直平分線的方程為

在軸上的截距為

設(shè)，則，

時(shí)，恒成立

時(shí)，時(shí)

的垂直平分線在軸上的截距的范圍是