Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓上．

（1）求圓的方程；

（2）若圓與直線交于，兩點，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

分析：（1）因為曲線與坐標軸的交點都在圓上，所以要求圓的方程應求曲線與坐標軸的三個交點。曲線與軸的交點為，與軸的交點為 ．由與軸的交點為 關于點(3,0)對稱，故可設圓的圓心為，由兩點間距離公式可得，解得．進而可求得圓的半徑為，然后可求圓的方程為．（2）設，，由可得，進而可得，減少變量個數。因為，，所以．要求值，故將直線與圓的方程聯立可得，消去，得方程。因為直線與圓有兩個交點，故判別式，由根與系數的關系可得，．代入，化簡可求得，滿足，故．

詳解：（1）曲線與軸的交點為，與軸的交點為

．故可設的圓心為，則有，解得．則圓的半徑為，所以圓的方程為．

（2）設，，其坐標滿足方程組

消去，得方程．

由已知可得，判別式，且，．

由于，可得．

又，

所以．

由得，滿足，故．