Question

【題目】已知長方形中，，，現將長方形沿對角線折起，使，得到一個四面體，如圖所示.

（1）試問：在折疊的過程中，異面直線與能否垂直？若能垂直，求出相應的的值；若不垂直，請說明理由；

（2）當四面體體積最大時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a2=1，成立;（2）四面體A﹣BCD體積最大時面ABD⊥面BCD，以A為原點，在平面ACD中過O作BD的垂線為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．

(1)若AB⊥CD，因為AB⊥AD，AD∩CD＝D，

所以AB⊥面ACDAB⊥AC.

由于AB=1, AD=BC= ,AC=,

由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,

所以12＋a2＝()2a＝1,

所以在折疊的過程中，異面直線AB與CD可以垂直,此時的值為1

(2)要使四面體A－BCD體積最大，因為△BCD面積為定值，

所以只需三棱錐A－BCD的高最大即可，此時面ABD⊥面BCD.

過A作AO⊥BD于O，則AO⊥面BCD，

以O為原點建立空間直角坐標系 (如圖)，

則易知,

顯然，面BCD的法向量為 ,

設面ACD的法向量為n＝(x，y，z),

因為

所以，令y＝，得n＝(1，，2)，

故二面角A－CD－B的余弦值即為

.