Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）記表示中的最小值，設(shè)，若函數(shù)至少有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為.（2）

【解析】

（1）求出，由得，，討論兩根大小，得出的正負，從而確定單調(diào)區(qū)間；

（2）只有唯一零點2，因此在上至少有兩個零點才能滿足題意，根據(jù)（1）中得出的單調(diào)性，分類討論的極值與零點可得．

（1）的定義域為，

∴，令，得.

①當，即時，；

②當，即時，；

③當，即時，，

綜上，當時，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為；當時，的單減區(qū)間為，無增區(qū)間；當時，的單減區(qū)間為和，單增區(qū)間為.

（2）的唯一一個零點是，∴，由（1）可得: (i)當時，，此時至多有兩個零點，不符合題意；（ii）當時，在定義域上單減遞減，此時至多有兩個零點，不符合題意； (ⅲ)當時，若，即，此時至多有兩個零點，不符合題意；若，即，此時，即，此時恰好有三個零點，符合題意；若，即，此時， ，記，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，此時恰好有四個零點，符合題意，綜上，.