Question

【題目】已知函數.

（1）若有兩個極值點，求實數的取值范圍；

（2）已知，，是的三個零點，且.當時，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）求導得到，設，得到，從而得到的單調性和，根據有兩個極值點，結合零點存在定理，得到的范圍；（2）當時，可知單調遞增，不符合題意，當時，得到，記，利用導數求出的單調性，從而確定的兩根的范圍，結合的范圍，得到的范圍，從而得證.

（1），

，

設

時，，所以單調遞減，即單調遞減；

時，，所以單調遞增，即單調遞增；

所以，

因為有兩個極值點，所以

有兩個解，

所以，即，

又因為和時，都有，

所以即為所求..

（2）證明：（ⅰ）當，由（1）可知

，

所以在上單調遞增，

所以至多一個零點，與條件矛盾，

所以.

（ⅱ）當時，由（1）可知：，

時單調遞增；

時單調遞減.

因為，所以.

當時，由可得，

記，則、是的兩根.

，

記，

則.

易知和時，都有，又，

所以在上單調遞增..

又因為，

所以時，，

即，所以單調遞減；

時，，

即，單調遞增，

設的兩根為

∵∴

∵∴.

當時，的兩根、滿足，

則，證畢.