Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）解不等式f（x）＜ ；
（2）求函數f（x）值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：將f（x）的解析式代入不等式得：

＜ ，

整理得：34x﹣3＜4x+1，即4x=22x＜2=21，

∴2x＜1，

解得：x＜ ，

則不等式的解集為{x|x＜ }

（2）解：法一：f（x）= =1+ ，

∵4x＞0，∴4x+1＞1，

∴﹣2＜ ＜0，

∴﹣1＜1+ ＜1，

則f（x）的值域為（﹣1，1）；

法二：∵y=f（x）= ，

∴4x= ＞0，即 ＜0，

可化為： 或 ，

解得：﹣1＜y＜1，

則f（x）的值域為（﹣1，1）

【解析】（1）把f（x）的解析式代入不等式，整理后得到關于4x的不等式，把不等式左右兩邊化為底數為2的冪形式，根據指數函數為增函數，得到關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集；（2）法一：把函數解析式整理為f（x）=1+ ，由4x大于0，得到4x+1的范圍，可得到 的范圍，進而確定出1+ 的范圍，即為函數f（x）的值域；
法二：設y=f（x），從函數解析式中分離出4x ， 根據4x大于0列出關于y的不等式，變形后得到y+1與y﹣1異號，轉化為兩個一元一次不等式，求出不等式的解集，即為函數的值域．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．